Любите ли вы точные науки? Если нет, читайте новую книгу Бена Орлина — и ваше мнение обязательно изменится. Вы больше не будете с содроганием вспоминать школьные уроки, а посмотрите на постулаты, законы и формулы с юмором и без отталкивающего занудства. Ведь математика в тексте автора напоминает подземный лабиринт, соединяющий всё, что есть на свете.
Всё, что мы строим, стоит на треугольниках
Египетские пирамиды, например. А ферменные конструкции, разработанные в середине XIX века, позволили возводить новые супер-прочные мосты, в том числе железнодорожные. Посмотрите на велосипед, и вы увидите, что внутри него тоже треугольник. Стропила, скелеты высотных зданий… Без треугольника мир не был бы таким, какой он есть. Почему? Потому что треугольник — самая жесткая конструкция. Если три отрезка образуют треугольник — то один и только один. Чего не скажешь о других многоугольниках. Потому они и не годятся на роль системообразующей конструкции.
Опоры современных мостов состоят из треугольных секций не просто так
Все форматы бумаги имеют одинаковые пропорции
Никогда не задумывались, почему лист формата A4 имеет такие необычные длины сторон: 29,7 см и 21 см? Соотношение величин приблизительно равно корню из двух, что на первый взгляд очень странно. Однако всё становится понятнее, если посмотреть на все форматы сразу — от A1 до A7. Дизайнеры решили создать систему бумажных форматов, каждый из которых вдвое меньше предыдущего. Например, две ширины формата A4 составляют длину формата A3. Единственное число, которое удовлетворяет этому соотношению, — корень из двух. Других вариантов просто нет. Перед нами абсолютная бумага! Её размеры никто не выбирал — они сложились сами, исходя из задачи.
Муравьи не боятся высоты, потому что они малы
Когда линейные размеры какой-либо фигуры (длина, ширина и высота) растут, то площадь ее поверхности растет гораздо быстрее, а объем — еще быстрее. Например, увеличение длины, ширины и высоты с 1 см до 2 см влечет увеличение объема с 1 кубического см до 8. Это означает, что у больших тел больше объема на единицу площади поверхности. При падении с высоты сила тяжести тянет вниз, а сопротивление воздуха удерживает. Сила тяжести зависит от массы (а значит, от плотности и объема), а сопротивление воздуха — от площади поверхности тела. Значит, масса ускоряет падение, а площадь поверхности его замедляет. Муравей так мал (отношение площади его поверхности к массе так велико), что не разобьется даже при падении с сотого этажа.
Размеры муравья позволяют ему не бояться падения
Выиграть в лотерею практически невозможно
Математическое ожидание выигрыша в долгосрочной перспективе почти всегда меньше, чем сумма, затраченная на билеты: даже если скупить их все, сумма выигрыша, как правило, будет меньше. Лотерея устроена так, что сумма выигрыша в принципе может быть больше, чем выручка от покупки билетов (обычно так происходит, если предыдущий джекпот никто не выиграл, и он пополнил призовой фонд следующего тура лотереи). Участник с 99% вероятностью успеет обанкротиться прежде, чем этот джекпот ему попадется. В старые времена встречались крупные игроки, которые скупали сразу все билеты лотереи, отслеживая именно такие, в которых математическое ожидание выигрыша выше, чем сумма, которую они затрачивали на покупку всех билетов. Но те времена прошли — нынче это технически невозможно. Что уж говорить о рядовых игроках, покупающих 1 или 10 билетиков. Вероятность выиграть больше, чем вложил, здесь настолько мала, что о ней не стоит и упоминать.
Обычно братья бывают похожими, но разными
Когда мы играем в орлянку, у нас есть только два варианта — орел и решка. Если взять две монетки, то вариантов будет уже три: две решки, два орла, решка и орел. При этом вероятность выпадение варианта «решка и орел» будет выше, чем двух решек и двух орлов, в два раза. Чем больше монеток мы берем, тем больше вероятность, что количество орлов и решек будет где-то в среднем интервале — не 30 орлов и 0 решек и не 0 орлов и 30 решек.
У каждой пары «мать-отец» есть 70 триллионов вариантов комбинаций хромосом, причем, в отличие от орлянки, имеет значение еще и последовательность («орел-решка» здесь не то же самое, что «решка-орел»). Вот почему вероятность того, что братья будут абсолютно различны или абсолютно идентичны (если это не однояйцевые близнецы) — ничтожна. Скорее всего, у братьев будет примерно половина общих хромосом из 46 — возможно, чуть больше, а возможно, чуть меньше (примерно от 18 до 28). Данные исследований подтверждают эту математическую модель.
Наборы хромосом у братьев различаются наполовину
Человеческая история развивается хаотично
Выбор одного человека достаточно сложен, но все же его возможно предсказать. Выбор множества людей и их взаимодействие предсказать невозможно. Крупномасштабные события — плоды крайне сложной системы со множеством взаимосвязей, где каждое движение зависит от контекста. Не поможет ни анализ «исторических развилок», ни альтернативная история: в каждой конкретной точке существует огромное, неизмеримое количество не связанных друг с другом факторов, которых мы не видим. Они и делают событие неизбежным, а история затем объясняет его «необходимость и закономерность» задним числом. Альтернативная история, как правило, зацикливается на «великих людях» и «важных битвах» традиционной истории, но на самом деле все моменты в истории — подспудно осевые.
Хотите узнать, как работает американская выборная система? Какими могут быть игральные кости? Почему бриллианты дороже, чем вода? Да-да, на все эти вопросы тоже отвечает математика.
